可行域

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优化设计中,一个不等式约束条件g(x)≤0可以将设计空间划分为两个部分:一部分满足约束条件g(x)<0,另一部分不满足约束条件g(x)>0,这两部分的分界面称为约束面,即g(x)=0。若某项设计有m个不等式约束条件,则由m个约束面在设计空间中形成两个区域,凡满足不等式约束方程组的设计变量选择区域,称为设计可行域,或称约束区域;凡不满足不等式约束方程组中任一个约束条件的设计变量选择区域,则称为设计非可行域或约束违反区域。可行域内的设计点所对应的解均为可行解。1分赛车在哪里注册账号在优化设计问题中,由于存在各种设计约束,其最优设计方案通常都是可行域上的边界点。 [1] 
中文名
可行域
外文名
feasible region
所属学科
数理科学
相关概念
线性规划、可行解、约束条件等
别    称
约束区域

可行域基本介绍

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所谓约束集合,就是指所有不等式约束和等式约束的交集。在此集合内所有设计点x都满足全部的约束条件,故又称它为设计可行域,表示为:
其中假设函数
和h(x)都是连续的。这样,对于一个约束的优化设计问题,由于约束面的存在而把设计空间划分为两个区域:设计可行域D非可行域。因而,最优解或可接受设计解只能从可行域内的各点中产生。
显然,若在可行域内不存在设计点,则认为此可行集合是个空集,此时也就得不到一个设计解,问题就可能出于所建立的约束条件与设计要求是相矛盾的。
关于约束可行域D是否为一个凸集,在凸规划理论中证明了:若各个不等约束函数
是凸函数和等式约束
是线性函数,则D是凸集。但是只要等式约束是非线性的,那么集合D一定是个非凸集。 [2] 

可行域可行域的其他性质

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【例1】对于一个二维问题,当其约束条件为:
由图1 (a)可见,它是一个在第一象限内的凸集;当约束条件改为:
时,由图1 (b)可见,是一个在第一象限内的非凸集D,因为
函数是一凹函数;当约束条件
取为等式约束
时,由图1 (c)可见,也是一个非凸集,此时这个集合是在x1≥0和x2≥0(第一象限内)上
的一段曲线。
图1(a)凸集 图1(a)凸集
图1 (b)非凸集 图1 (b)非凸集
图1(c)非凸集 图1(c)非凸集
值得注意的是,一个约束函数经过变换,虽然表示形式不同但未改变其约束条件的性质,但有时却会影响约束函数的凸性,例如,对于x1>0和x2>0,且a和b为正常数,其原约束条件形式为:
可以等价地变换为下面形式(由于x1和x2均取正值,故不等式的意义没有改变):
结果是
凸函数,变换为
则是非凸函数,因为它们的Hessian矩阵分别为:
式中,
正定矩阵
不定矩阵
由此,约束函数通过形式上的变换,结果可能丢失了函数的凸性(或者相反),这也就影响可行域的约束集合的凸性条件。
根据上述可以推知,在n维欧氏空间Rn1分赛车在哪里注册账号中,由一组不等式约束函数可以组成一个或几个可行域D。对于仅由一组等式约束所组成的可行域D,如果这组方程的函数是连续且彼此独立的,那么这个可行域D就是一个n-p维的子集。
对于由一组非线性约束函数所定义的可行域,确定它是凸集还是非凸集,一般说来是比较困难的,而且对于一个非凸的集合,往往是造成一个优化设计问题有多个约束极值的重要原因。 [2] 
参考资料
  • 1.    黄汉江.建筑经济大辞典:上海社会科学院出版社,1990
  • 2.    陈立周,俞必强.机械优化设计方法(第4版):冶金工业出版社,2014.01