不适定问题

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经典的数学物理方程定解问题中,人们只研究适定问题。适定问题是指定解满足下面三个要求的问题:① 解是存在的;② 解是唯一的;③ 解连续依赖于定解条件,即解是稳定的。这三个要求中,只要有一个不满足,则称之为不适定问题。
中文名
不适定问题
外文名
ill-posed problem
汉语拼音
bushiding wenti
定    义
连续使其离散化从而取得数值解

不适定问题简介

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20 世纪50 年代,前苏联数学家吉洪诺夫(A.H.Tychonoff) 提出的正则化方法是较为重要的一种。

不适定问题例举

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不适定问题的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西问题。其他的一些不适定问题有:第一种弗雷德霍姆积分方程、反向热导方程的边值问题波动方程狄利克雷问题和不少微分方程的反问题,等等。
第一类弗雷德霍姆积分方程
其中,a,b 是常数,K(x,s)、f(x) 都是已知函数,φ(s) 是未知的。一般说来该方程是无解的;即使有解,解也不一定唯一;而且即使存在唯一解,解也是不稳定的。对于一个给定的定解问题,如果条件 ③不满足,那么就称为阿达马(J.Hadamard)意义下的不适定问题,如阿达马例。其他一些不适定问题有逆向热传导问题以及其他反问题等。 [1] 

不适定问题应用

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不适定问题应用当初

在一段时间里,人们认为不适定问题不反映任何物理现象,而无研究价值。

不适定问题应用领域

随着生产和科学技术的发展、应用的迫切需要,各种各样的不适定问题出现在许多领域中,如地球物理、连续介质力学、自动控制、大气物理、全息照相、天体力学热力学电磁学、 热扩散理论、电子聚焦问题等,这些问题一般没有精确解,为了求得具有一定精度的稳定近似解,已经提出许多有效的解法。
拉普拉斯方程的柯西问题、波动方程对非空向 (nonspace-like)初始流形的初值问题,在地球物理勘探的资料解释和数据处理中,皆具有重要的应用。

不适定问题发展

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不适定问题求解条件

由于这些问题的数据常常是通过测量给出的近似值,问题通常没有精确解。因此,人们就去寻找满足方程但只是近似地适合定解条件的所谓近似解,或近似地满足方程的近似解。当然,这些近似解一般是没有惟一性的,但是若对近似解所在的函数类加以适当的限制,例如紧性的限制,便可以保证近似解对数据的连续依赖性。

不适定问题求解备注

在求问题数值解时,须明确在什么度量下对近似解加以紧性限制,使问题变为适定,且切合实际的需要。
参考资料
  • 1.    王元,文兰,陈木法.数学大辞典:科学出版社,2010